라이스너-노르드스트룀 계량

2. 정의

편의상 광속을 $c=1$로 놓으면, '''라이스너-노르드스트룀 계량'''은 다음과 같다.

:$ds^2=-\backslash left(1-\backslash frac\{2GM\}\{r\}+\backslash frac\{GQ^2\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r^2\}\backslash right)dt^2\; +\backslash left(1-\backslash frac\{2GM\}\{r\}+\backslash frac\{GQ^2\}\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r^2\}\backslash right)^\{-1\}\; dr^2\; +r^2\; d\backslash Omega^2$

:$A\_t=\backslash frac\; Q\{4\backslash pi\backslash epsilon\_0r\}$

여기서

:$d\backslash Omega^2\; =\; d\backslash theta^2\; +\backslash sin^2\backslash theta\backslash ,d\backslash phi^2$

이고, $M$은 블랙홀의 질량, $Q$는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.

구면 좌표계에서, 라이스너-노르드스트룀 계량(즉, 선 요소)은 다음과 같다.

:$$

ds^2 = c^2\, d\tau^2 =

\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_{\rm Q}^2}{r^2} \right) c^2\, dt^2 -\left( 1 - \frac{r_\text{s}}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} \, dr^2 - r^2 \, d\theta^2 - r^2\sin^2\theta \, d\varphi^2 ,

여기서

• $c$는 광속이다.
• $\backslash tau$는 고유 시간이다.
• $t$는 시간 좌표이다(무한대에 정지해 있는 시계로 측정).
• $r$은 반경 좌표이다.
• $(\backslash theta,\; \backslash varphi)$는 구면 각도이다.
• $r\_\backslash text\{s\}$는 $\backslash textstyle\; r\_\backslash text\{s\}\; =\; \backslash frac\{2GM\}\{c^2\}$로 주어지는 물체의 슈바르츠실트 반지름이다.
• $r\_Q$는 $\backslash textstyle\; r\_Q^2\; =\; \backslash frac\{Q^2\; G\}\{4\backslash pi\backslash varepsilon\_0\; c^4\}$로 주어지는 특성 길이 척도이다.
• $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율이다.